Problemas variados de trigonometría

1) ¿Hallar el menor ángulo en el intervalo [ 7π/3 , 11π/3] que satisfaga la ecuación:

                                      2 tan² x + 3 sec x = 0

 Solución

       Lo primero que se debe hacer es expresar la ecuación en función de una función trigonométrica ,  entonces sabemos que :

                          1 + tan²x = sec² x         entonces             tan²x = sec² x - 1

     Reemplazando en la ecuación dada

                                2 tan² x + 3 sec x = 0                  x ϵ [ 7π/3 , 11π/3]

     tenemos  :
                               2 (sec² x - 1) + 3 sec x = 0
                                  2 sec² x + 3 sec x - 2 = 0
                              ( 2  secx - 1 )( secx + 2)= 0
     
        Notamos que      2 sec x -1 ≠ 0              ya que        sec x  ≥ 1  ó  sec x ≤ 1
                                        sec x ≠ 1/2

                     sec x + 2 = 0  entonces      sec x = - 2 = sec ( 120º ) = sec ( 2π/3 )

                       Entonces             x = 2 k π ± ( 2π/3 )

            Del problema nos pide el menor valor, será :

                                         x = 2 π + ( 2π/3 ) = 8π/3    ϵ  [ 7π/3 , 11π/3]

                                         x = 8π/3 
  
2) Para qué valores de x <0;2π> se cumple senx+ senxcosx<1+cosx+cos2x